数学の問題集(有名問題の応用か、自作問題など　数学以外もある)

\(f(x)=\displaystyle\lim_{n→\infty}\left\{\frac{1}{2^{n+1}x(1-x^{-2^{-n}})}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k+1}x(1+x^{-2^{-k}})}\right\}\)

とするとき,　\(f(2024)\)を既約分数で表せ

ヒント1(式変形)：中高数学でトップレベルで見る式を変形しまくるとこうなる

ヒント2(式変形)：\(x^{2}-1\)と関係がある

ヒント3(代入)：分母と分子の多項式の関係を確認しておくと困らないかも

答え：\(\frac{2024}{4096575}　　(x^{2}-1の自然対数をとって微分して2で割った式になる。分母と分子は互いに素)\)

\(y=tan(x)sin(x)\sqrt{\frac{1}{(tan(x)+sin(x))(tan(x)-sin(x))}}\)

\(x=\frac{\pi}{2}　x=\frac{3\pi}{2}　y=0\)

で囲まれた部分を\(y\)軸方向に1回転させてできる立体の体積を求めよ

ヒント1(式変形)：yの範囲を考えつつ,　三角関数の基本公式を使いまくると...

答え：\(2\pi^{2}　　(y=sign(sin(x))になる　sign(x)...xの符号に応じて+1,0,-1になる関数)\)

各辺の長さが1の正三角形ABCがあり,　BP=1 CP=2 をみたす点を点Pとする。点Pと線分ACを通るように直線を引き,　線分ACとの交点を点Qとする。直線PQが正三角形ABCの面積を2等分にするとき,　\(tan⁡∠QPC\)の値を求めよ

(関数電卓必須?)

答え：\(\frac{\sqrt{3}}{19}(6-\sqrt{17})\)

\(10^{2^{2025}}+10^{2^{2024}}+1\)

を\(99990001\)で割ったあまりを求めよ

ヒント1(式変形)：\(a_{n}=10^{2^{n+1}}+10^{2^{n}}+1\)とおいてみる

ヒント2(式変形)：\(a_{n+1}\)を\(a_{n}\)を用いて表してみる

ヒント3(代入)：\(a_{1}\)から\(a_{3}\)くらいまでの値を99990001で割ってみる

答え：\(0　　(ヒント中のa_{n}において,　n<3なら余りは0)\)

\(S_{m,n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{_{k+m-1}P_{m}}\)

※Pは順列

\(T_{m}=\displaystyle\lim_{n→\infty}S_{m,n}\)

とするとき,

\(T_{m}=\displaystyle\sum_{k=1}^{m-1}\displaystyle\sum_{l=1}^{k}???\)

と表せる。\(???\)にはいる式を求めよ

ヒント1(代入)：適当に代入すると,　数Bで使うあるテクニックの一般化したような式が出る

ヒント2(代入)：打ち消さないところだけ残して綺麗に式を縦横に並べ,　斜めに足すと...

答え：\(\frac{(-1)^{l-1}}{k(m-l)!(l-1)!}　　(部分分数分解の形→打ち消すタイプの問題)\)

500人が遊んでいるあるゲームのイベントXでは,　イベント内で稼いだ得点を競い,　最終的に順位が発表される。また,　このイベントは,　複数のチャプター\(X_{n}\)で数日ごとに区切られており,　チャプターごとの得点における順位も発表される。ある1つのチャプター\(X_{k}\)のみイベントに参加したAさんは,　イベントの総合順位が100位,　参加したチャプター\(X_{k}\)の順位は30位であった。このとき,　 Aさんよりも\(X_{k}\)の順位が高い　かつ Aさんよりも\(X\)の順位が低い人は何人か

ヒント1(推測)：\(X_{k}\)しか参加してないAさんよりも\(X_{k}\)の順位が高い　かつ Aさんよりも\(X\)の順位が低いが存在することある?

答え：\(0\)人

あるリズムゲームでは, 100\(n\)コンボ(\(n\)…自然数)ごとに1ノーツあたりの点数が\(n\)%増加する。例えば,　1~99コンボ目のノーツの得点が100点だとしたら100~199コンボ目は101点, 200~299コンボ目は102点となる。 1000コンボまでつなげたときの点数が100万点に最も近くなる点数の初項を求めよ。ただし,　コンボ以外で得点が変化しないものとする。

ヒント1(単元)：少しだけ場合分けする群数列の基本レベル問題

答え：\(957\)点

(1)あるゲームの一回の周回に対し,　特別なアイテム[A]を消費でき,　消費数に応じてゲーム内のイベントにおける獲得ポイントを倍増できるが,　消費数が増えるのに応じて1つ当たりの効果が低下する。(例:1つ…5倍　2つ…9.5倍 3つ…18.5倍) あるゲーム内イベントの開催時間は\(T\)[s]で,　[A]を\(N\)個所持,　イベントの周回に費やすことのできる時間はイベントの開催時間の\(p\)倍,　一回の周回にかかる平均時間の予測を\(t\)[s]とするとき,　[A]を使い切らない範囲でできるかぎり使い,　イベントの獲得ポイントを最大限増やすには,一回の周回に消費する[A]の量を求めよ。

(2)最初に求めた消費すべき[A]の量を\(A_{0}\)とし、一定時間経過後のイベントの開催期間の残り時間,　残りのイベントに費やすことのできる時間,　残りの[A]の所持数,　測定した一回の周回にかかる平均時間を使い,　一回の周回に消費するべき[A]の量をもう一度求めた。これを\(A_{1}\)とする。\(A_{0}<A_{1}\)である場合, ここからわかることを次の選択肢から選べ。

1.[A]の消費するペースが早い
2.[A]の消費するペースがちょうどよい
3.[A]の消費するペースが遅い

ヒント1(元ネタ)：プロセカのイベント時のライブボーナスの消費量の最適化を考えると...

答え：\((1)[\frac{Nt}{Tp}]　(2)3\)　

あるゲームのガチャでは,　ピックアップキャラクターA,Bがそれぞれ0.03%の確率で排出される。このガチャを10連ひいてみたところ,　演出によりピックアップキャラクター2体,それ以外8体が排出されたことが分かった。
(1)排出された順番に開いていき,　 1体目のピックアップキャラクターがAであったとき,　2体目のピックアップキャラクターがBである条件付き確率を求めよ。
(2)すべて排出された後,　好きな順番で開いていき,　片方のピックアップキャラクターがAであったとき,　もう片方のピックアップキャラクターがBである条件付き確率を求めよ。

ヒント1(読解)：0.03%という値は使わない

ヒント2(元ネタ)：似たような有名問題(直感に反する系)がある

答え：\((1)\frac{1}{2}　(2)\frac{2}{3}　　(双子の問題の応用版)\)

\(1÷2+3□4□5□6□7□8□9 = 0\)

の6個の□に +,-,×,÷のいずれかを必ず入れて式を完成るとき,式が成立するパターンは何通りあるか求めよ。

(もしかしたら高校の情報で習うプログラミングよりむずかしいかも)

ヒント1(手法)：プログラミングで総当たりする

答え：\(1通り\)

プレーヤーの前に閉じた4つのドアが一直線上に並んでいて、1つのドアの後ろには景品の新車が、3つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。司会者が新車とその左右どちらかのヤギと入れ替える操作を\(n\)回繰り返す。ここで司会者は、プレーヤーに入れ替え回数\(n\)を教え、プレーヤーはドアを選択する。
(1)左から2番目の扉を選んであたる確率 \(p_n\) を求めよ、
(2)\(\displaystyle\lim_{n→\infty}p_n\) を求めよ、

ヒント1(考え方)：両端に当たりがあるとき,　その隣と入れ替えることが確定する

答え：\((1)\frac{1}{6}(\frac{-1}{2})^{n+1}+\frac{1}{3}　(2)\frac{1}{3}\)

半径1の円に同じ大きさの小さな円を3つ,　それぞれの円と外周の円が互いに接するように敷き詰める。そこから,　3つの小さな円にさらに小さい円を同じ条件で3つずつ敷き詰めることを繰りかえす。円の面積の総和を求めよ

ヒント1(単元)：数列の極限を使う基本問題

ヒント2(方針)：外側と内側の半径の比を求める

答え：\(\frac{\pi}{22}(31+18\sqrt{3})\)

複数の宇宙の全質量を1個のブラックホールに圧縮しそれが蒸発した後に、ポアンカレの回帰定理に従い再びブラックホールができる時間の近似値である、

\(10^{10^{10^{10^{10^{1.1}}}}}\)

(引用:Wikipedia)

に対数スケールで近い値はどれかえらべ

A.\(1不可説不可説転^{1不可説不可説転^{1訶理蒲^{1.01}}}\)

B.\(1不可説不可説転^{1不可説不可説転^{1不可説^{1.53}}}\)

C.\(1不可説不可説転^{1不可説不可説転^{1不可説不可説転^{1.62那由他}}}\)

D.\(1不可説不可説転^{1不可説不可説転^{1不可説不可説転^{1界分^{1.44}}}}\)

ヒント1(数値)：\(1不可説不可説転=10^{37218383881977644441306597687849648128}=10^{7×2^{122}}\)

答え：A

(ページ作成者が出した体力テストの50m走で出した全国)偏差値\(-23\)の人数の割合に対数スケールで最も近い値を選べ

※関数電卓が必要

A.\(14,105,098\)人に1人

B.\(124,299,000\)人に1人

C.\(8,119,000,000\)人に1人

D.\(6,000,053,124,710\)人に1人

※現在はどれだけ結果が悪くても偏差値0.0になる(経験済み)。　(レーダーチャートがバグるから?)

ヒント1(数値)：偏差値\(T\)に対して\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\frac{T-50}{10}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{x^{2}}{2})dx\)

答え：D (約6,950,040,000,000人に1人)

\(f(x)=x^{2}-6x+6\sqrt{-x^{2}+6x+5}\)

の極小値を求めよ

ヒント1(方針)：どこかを置換する

ヒント2(単元+構造)：2重の2次関数

答え：\(x=3\)のとき,　極小値\(6\sqrt{14}-9\)

(♯=1,♭=-1としたときの)キーが\(n\)個上がったときの調号数の変化量は,　\(p\)を\(q\)で割った余りを \(p　mod　q\) として,

\(f(n)=\left\{(7n+6)　mod　12\right\}-6\)

と表せる。\(f(-n)\)を\(f(n)\)を用いて表せ

(おまけ　\(f(f(n))　(-6≦n≦6)\)を\(n\)を用いて表せ)

ヒント1(方針)：\(a=(7n+6)　mod　12,　　b=(-7n+6)　mod　12のときのa+bを考える\)

ヒント2(方針)：場合分けあり

答え：\(n=6k　(kは整数)のとき,　f(-n)=f(n)　それ以外のとき,　f(-n)=-f(n)\)

答え(おまけ)：\(n=6　(kは整数)のとき,　f(f(n))=-6　それ以外のとき,　f(f(n))=n\)

C++のコード


#include 
#include 
double f(double x) {
	return x * std::sqrt(x);
}
int main(void) {
	const int N = 10;
	const double x_range[] = { 0,4 };
	double s = 0;
	for (int i = (int)(N * x_range[0]); i < (int)(N * x_range[1]); i++) {
		double x = 1.0 * i / N;
		s += f(x) / N;
	}
	std::cout << s << std::endl;
	return 0;
}

において、定数Nの値を大きくしていくと出力される数値はある値に近づく。その値を求めよ

ヒント1(単元)：積分+極限

答え：\(\frac{64}{5}(12.8)　　(区分求積法より\displaystyle\int_{0}^{4}x\sqrt{x}dx)\)

\(f(t)=曲の波形　(0≦t≦T)\)に対して以下の手順を行う

\(g(m)=\displaystyle\int_{(m-1)n}^{mn}|f(t)|dt　(0≦m≦\frac{T}{n})　(n=自然数)\)

\(G(m)=F[g]　(F...フーリエ変換)\)

\(k=maxi(|G|)　(maxi...関数が最大値をとる配列番号)\)

\(x=ak×2^{l}　(a=ある定数)　(l=ある整数)\)

このとき,　\(x\)が表すものは何

A.曲の調の推定値

B.曲の最大音量の推定値

C.曲のBPMの推定値

D.曲のパート数の推定値

ヒント1(方針)：\(g(m)\)で周期的な要素は...

答え：C

実数\(a,b\)に対し

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\)

を満たす\(a+b\)の範囲を求めよ

ヒント1(使うもの)：解と係数の関係

答え：\(a+b<0　4≦a+b\)

AB=1　BC+CD=10　CD\(\perp\)DA　AB\(\parallel\)DC　BCとDAは交わらない

を満たすとき、

(1)CDの長さの範囲
(2)台形ABCDの最大値
(3)点Cの軌跡(向き自由)

ヒント1(補助線)：三角形と四角形に分ける

答え：\((1)0≦CD≦\frac{11}{2}　(2)x=\frac{10}{3}のとき、最大値\frac{13\sqrt{\frac{13}{3}}}{2}　(3)(例)y=-\frac{x^{2}}{18}+\frac{11}{2}　(x≧0　y≧0)\)

AさんとBさんの2人で,　交互に1から\(n\)までの好きな自然数を0スタートで足していき,　\(N\)を言ったら負けのゲームを行う。

(1)先手必勝のときの\(n,N\)の条件を求めよ
(2)先手必勝のとき,　先手が勝つために止める数字の数列\(a_{k}\)を求めよ

ヒント1(元ネタ)：\(n=3　N=30\)で遊ぶのが一般的

答え：\((1)Nをn+1で割った余りが1以外　(2)a_{k}=p+(n+1)(k-1)　(pはN-1をn+1で割ったあまり)\)

すべて種類が違う\(n\)個のフィギュアを横に並べ,　フィギュア1個収納用から\(n\)個収納用の透明なカバーをいくつか使い全てのフィギュアにカバーを被せて飾る

このとき,　フィギュアの飾り方は何通りあるか求めよ。ただし,　カバーは複数の種類/個数を使ってもよいが,　カバーに空きができないようにする

ヒント1(考え方)：nPrとnCrを組み合わせる　場合分けに注意

答え：\(n!*2^{n-1}通り\)

整数　\(a,b,c\)　が　\(a \neq b \neq c\)で,

\(N=(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)\)

(1)\(N\)の最小値をもとめよ。
(2)\(a,b,c\)　のうち2つを　\(\alpha,\beta\)とすると,　\(4N(\alpha-\beta)^{2}-3(\alpha-\beta)^{4}\)は平方数であることを示せ

ヒント1(考え方)：2乗の形にすること優先で式変形する

答え：(1)\(N=3\)　(2)(略　ゴリ押し可能)

次のABCに入る漢字をそれぞれ答えよ

・一般的なパーティー系のゲームでは、(　AB　)用のミニゲームが中心に収録されている

・(　BC　)芝の校庭で遊ぶ

・演奏練習のため、練習曲の(　CCA　)を購入する

ヒント1(各難易度)：上から　普通　簡単　激ムズ

ヒント2(3つ目の括弧内の意味)：沖縄の三線用の楽譜

答え：ABC=四人工

次の下手な絵(画伯の絵)にあうように、括弧に同じ単語をうめよ。ただし、I以外はすべて小文字にしてある

I ( ) secondhand ( ) on the ( )-off online store.

ヒント1(注目するもの)：青と黄色の物体は非常に重要

ヒント2(意味)：括弧の内1つは「予約」という意味になる

答え：book

次の画像内に隠れている文字列(7文字)を答えよ

ヒント1(画像の特徴)：よく見ると右下がおかしい

ヒント2(方針)：多分ダウンロード必須

答え：SHIFT-JIS　(バイナリエディタでキャラクターセットをSHIFT-JISにし、最後の方を見ると...)

次の文章の返答として、適切なものを選べ。

Cooper oil wall ten shake?

A. Love none tire cooper.
B. Fire stomach figure ten none.
C. Area seven seven.
D. House vinegar, love copper.

ヒント1(方針)：日本語訳してみる

ヒント2(分析)：Love　Copperが頻出

答え：D　(Do you hate ful.→Yes, I do.)

数学の問題集(有名問題の応用か、自作問題など 数学以外もある)

Q1(数A+Ⅲ)

\(f(x)=\displaystyle\lim_{n→\infty}\left\{\frac{1}{2^{n+1}x(1-x^{-2^{-n}})}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k+1}x(1+x^{-2^{-k}})}\right\}\)

とするとき, \(f(2024)\)を既約分数で表せ

Q2(数Ⅲ)

\(y=tan(x)sin(x)\sqrt{\frac{1}{(tan(x)+sin(x))(tan(x)-sin(x))}}\)

\(x=\frac{\pi}{2} x=\frac{3\pi}{2} y=0\)

で囲まれた部分を\(y\)軸方向に1回転させてできる立体の体積を求めよ

Q3(数Ⅰ~Ⅱ)

各辺の長さが1の正三角形ABCがあり, BP=1 CP=2 をみたす点を点Pとする。点Pと線分ACを通るように直線を引き, 線分ACとの交点を点Qとする。直線PQが正三角形ABCの面積を2等分にするとき, \(tan⁡∠QPC\)の値を求めよ

Q4(数Ⅰ(+B))

\(10^{2^{2025}}+10^{2^{2024}}+1\)

を\(99990001\)で割ったあまりを求めよ

Q5(数Ⅲ)

\(S_{m,n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{_{k+m-1}P_{m}}\)

\(T_{m}=\displaystyle\lim_{n→\infty}S_{m,n}\)

とするとき,

\(T_{m}=\displaystyle\sum_{k=1}^{m-1}\displaystyle\sum_{l=1}^{k}???\)

と表せる。\(???\)にはいる式を求めよ

Q6(中学レベル~数Ⅰ)

Q7(中学レベル~数Ⅰ)

Q8(数Ⅰ)

1.[A]の消費するペースが早い 2.[A]の消費するペースがちょうどよい 3.[A]の消費するペースが遅い

Q9(数Ⅰ)

Q10(算数~数学全体+プログラミング)

\(1÷2+3□4□5□6□7□8□9 = 0\)

の6個の□に +,-,×,÷のいずれかを必ず入れて式を完成るとき,式が成立するパターンは何通りあるか求めよ。

Q11(数Ⅲ)

Q11(数Ⅲ)

半径1の円に同じ大きさの小さな円を3つ, それぞれの円と外周の円が互いに接するように敷き詰める。そこから, 3つの小さな円にさらに小さい円を同じ条件で3つずつ敷き詰めることを繰りかえす。円の面積の総和を求めよ

Q12(一般 (数Ⅱ?))

複数の宇宙の全質量を1個のブラックホールに圧縮しそれが蒸発した後に、ポアンカレの回帰定理に従い再びブラックホールができる時間の近似値である、

\(10^{10^{10^{10^{10^{1.1}}}}}\)

に対数スケールで近い値はどれかえらべ

A.\(1不可説不可説転^{1不可説不可説転^{1訶理蒲^{1.01}}}\)

B.\(1不可説不可説転^{1不可説不可説転^{1不可説^{1.53}}}\)

C.\(1不可説不可説転^{1不可説不可説転^{1不可説不可説転^{1.62那由他}}}\)

D.\(1不可説不可説転^{1不可説不可説転^{1不可説不可説転^{1界分^{1.44}}}}\)

Q13(数B(統計))

(ページ作成者が出した体力テストの50m走で出した全国)偏差値\(-23\)の人数の割合に対数スケールで最も近い値を選べ

A.\(14,105,098\)人に1人

B.\(124,299,000\)人に1人

C.\(8,119,000,000\)人に1人

D.\(6,000,053,124,710\)人に1人

Q14(数Ⅲ(人によっては数Ⅰだけでいける))

\(f(x)=x^{2}-6x+6\sqrt{-x^{2}+6x+5}\)

の極小値を求めよ

Q15(数A)

(♯=1,♭=-1としたときの)キーが\(n\)個上がったときの調号数の変化量は, \(p\)を\(q\)で割った余りを \(p mod q\) として,

\(f(n)=\left\{(7n+6) mod 12\right\}-6\)

と表せる。\(f(-n)\)を\(f(n)\)を用いて表せ

(おまけ \(f(f(n)) (-6≦n≦6)\)を\(n\)を用いて表せ)

Q16(数Ⅲ プログラミング)

C++のコード

において、定数Nの値を大きくしていくと出力される数値はある値に近づく。その値を求めよ

Q17(情報 波形処理)

\(f(t)=曲の波形 (0≦t≦T)\)に対して以下の手順を行う

\(g(m)=\displaystyle\int_{(m-1)n}^{mn}|f(t)|dt (0≦m≦\frac{T}{n}) (n=自然数)\)

\(G(m)=F[g] (F...フーリエ変換)\)

\(k=maxi(|G|) (maxi...関数が最大値をとる配列番号)\)

\(x=ak×2^{l} (a=ある定数) (l=ある整数)\)

このとき, \(x\)が表すものは何